Probabilité : Loi des grands nombres - Spécialité

Soit \( \left( X_{1},..., X_{ 80 } \right) \) un échantillon de taille \( 80 \) de la variable aléatoire \( X \) qui suit la loi binomiale de paramètres \( n = 550 \) et \( p = 0,8 \).
On définit : \[ M = \dfrac{X_{1} + ... + X_{ 80}}{80} \]

Donner un majorant de \( P \left( | M - 440 | \geq 14 \right) \) en appliquant l'inégalité de Bienaymé Tchebychev.
On donnera une valeur arrondie du résultat à \( 10^{-3} \) près.

Une variable aléatoire \( X \) suit une loi binomiale \( B( 1800, \dfrac{3}{10} ) \).

Appliquer l'inégalité de Bienaymé Tchebychev pour trouver un majorant de \( P( | X - 540 | \geq 30 ) \).
On donnera la réponse sous forme de fraction simplifiée, sans préciser de quoi il s'agit.

Aux urgences d’un hôpital lors d’une épidémie, le nombre de malades qui arrivent chaque jour est donné par la variable aléatoire \( X \) d’espérance \( 46 \) et de variance \( 20 \).

Donner une majoration de \( P \left( | X - 46 | \geq 20 \right) \) en appliquant l'inégalité de Bienaymé Tchebychev.
On donnera la réponse sous la forme d'une fraction.

Donner une minoration de la probabilité que le nombre de malades soit strictement compris entre \( 30 \) et \( 62 \).
On donnera une valeur arrondie du résultat à \( 10^{-3} \) près.

Le nombre d’heures d’ensoleillement sur l’ile d’Oléron est une variable aléatoire \(X\) d’espérance 2600 et d’écart type 120.

Donner les résultats arrondis au centième si nécessaire.
Déterminer le nombre a tel que \( P(|X-2600|\lt a) \geq 0,3 \).

Soit \( \left( X_{1},..., X_{ 40 } \right) \) un échantillon de taille \( 40 \) de la variable aléatoire \( X \) qui suit la loi binomiale de paramètres \( n = 650 \) et \( p = 0,1 \).
On définit : \[ M = \dfrac{X_{1} + ... + X_{ 40}}{40} \]

Donner un majorant de \( P \left( | M - 65 | \geq 13 \right) \) en appliquant l'inégalité de Bienaymé Tchebychev.
On donnera une valeur arrondie du résultat à \( 10^{-3} \) près.